Qué es el teorema de la imposibilidad de la flecha en economía?

Qué es el teorema de la imposibilidad de la flecha en economía?

Una “solución” al problema de evaluar resultados que afectan a diferentes personas es suponer que existe una función de bienestar social -un procedimiento para clasificar dichos resultados- sin especificar realmente cuál es. Esto es algo parecido a la forma en que manejamos las preferencias individuales; asumimos una función de utilidad que permite al individuo clasificar las alternativas que le afectan, aunque no tenemos forma de saber exactamente cuál es esa función.

Pero en el caso de la función de utilidad, aunque no podamos predecirla, sí podemos observarla mediante las elecciones que el individuo hace realmente. No parece haber una forma equivalente de observar la función de bienestar social, ya que no hay un sentido obvio en el que las sociedades hagan elecciones. Podríamos intentar describir un conjunto particular de instituciones políticas de esta manera, sustituyendo “el resultado del proceso político” por “lo que el individuo elige”. Pero si bien esto puede ser una forma útil de analizar lo que harán esas instituciones, no nos dice nada sobre lo que deberían hacer, a menos que estemos dispuestos a asumir que ambas cosas son idénticas. Esto deja a la función de bienestar social como una forma abstracta de pensar en la cuestión, sin forma de deducir lo que debería ser u observar lo que es.

Incluso como forma abstracta de pensar en el problema, la función de bienestar social tiene problemas; no sólo es una abstracción inobservable, sino que puede ser lógicamente inconsistente. Para explicar lo que quiero decir con esto, empezaré mostrando cómo podemos eliminar un candidato particular para una función de bienestar social: la regla de la mayoría. A continuación, les hablaré de un resultado similar y mucho más sólido que elimina una amplia gama de posibles funciones de bienestar social.

Se supone que una función de bienestar social es una forma de clasificar los resultados que afectan a más de una persona; pretende ser el equivalente, para un grupo, de la función de utilidad de un individuo. Hay dos maneras diferentes de construir una función de bienestar social. Una es basar las preferencias sociales en las preferencias individuales, de modo que lo que la sociedad prefiera dependa, quizá de forma complicada, de lo que prefieran todos los individuos. La otra es tener alguna norma externa: lo que es bueno según la filosofía correcta, en la mente de Dios, o algo parecido. Los economistas, que saben muy poco sobre la mente de Dios o la filosofía correcta, son reacios a probar la segunda alternativa, por lo que normalmente han asumido que las preferencias sociales se basan en las preferencias individuales.

Una ventaja de definir las preferencias sociales en términos de preferencias individuales es que las preferencias individuales se expresan en acciones individuales. Tal vez, si pudiéramos establecer el conjunto adecuado de instituciones sociales, las elecciones realizadas por todos los miembros individuales de la sociedad se combinarían de algún modo para producir el resultado “socialmente preferido” para la sociedad. Esa es, en cierto modo, la idea de la democracia: Que cada individuo vote por lo que prefiere y esperar que el resultado sea bueno para la sociedad. Visto así, la regla de la mayoría es una posible función de bienestar social. Para cada par de alternativas, hay que averiguar cuál es la que le gusta a más gente y etiquetarla como la opción socialmente preferida.

Condorcet, un matemático francés, señaló un problema hace varios siglos. El voto mayoritario no produce un conjunto coherente de preferencias. Consideremos la tabla 15-1, que muestra las preferencias de tres individuos entre tres resultados. El individuo 1 prefiere el resultado A al resultado B y el resultado B al resultado C; el individuo 2 prefiere el resultado B al C y el C al A; el individuo 3 prefiere el C al A y el A al B. Supongamos que consideramos una sociedad formada sólo por estas tres personas e intentamos decidir qué resultado se prefiere bajo la regla de la mayoría. En una votación entre A y B, A gana dos a uno, ya que los individuos 1 y 3 lo prefieren. En una votación entre B y C, B gana dos a uno, ya que 1 y 2 lo prefieren. Parece que tenemos una clasificación social; se prefiere A a B y B a C.

Si A es preferido a B y B a C, entonces A también debe ser preferido a C. Pero no lo es. Si votamos entre A y C, el individuo 1 vota por A pero tanto el 2 como el 3 votan por C, por lo que C gana. Tenemos un sistema de preferencias sociales en el que A es preferido a B, B a C y C a A. Esto es lo que los matemáticos llaman un ordenamiento intransitivo; obviamente no produce una definición consistente de lo que es socialmente preferido.

Esta paradoja de la votación de Condorcet elimina la regla de la mayoría como una posible definición del bienestar social. Un resultado similar y mucho más general demostrado por Kenneth Arrow, llamado Teorema de Imposibilidad de Arrow, elimina prácticamente todo lo demás. Arrow hizo unos cuantos supuestos plausibles sobre cómo debe ser una función de bienestar social y luego demostró que ningún procedimiento posible para pasar de las preferencias individuales a las preferencias sociales podría satisfacerlos todos.

¿Cuáles son los supuestos? Uno es la no dictadura; la función de bienestar social no puede consistir simplemente en elegir a un individuo y decir que lo que él prefiere es lo que se prefiere socialmente. Otro tiene el largo nombre de independencia de alternativas irrelevantes. Dice que si la función de bienestar social, aplicada a individuos con un determinado conjunto de preferencias individuales, lleva a la conclusión de que la alternativa A es preferida a la alternativa B, entonces un cambio en las preferencias que no afecte a las preferencias de nadie entre A y B no puede cambiar la preferencia social entre A y B. Otro supuesto es que las preferencias sociales están positivamente relacionadas con las preferencias individuales; si algún conjunto de preferencias individuales lleva a preferir A a B, un cambio en la preferencia de uno de los individuos de preferir B a preferir A no puede hacer que la preferencia social cambie en la otra dirección. La sociedad no puede pasar a preferir B como resultado de que un individuo pase a preferir A. Por último, la función de bienestar social debe conducir a un conjunto coherente de preferencias; si A es preferido a B y B a C, entonces A debe ser preferido a C.

Lo que Arrow demostró fue que ninguna regla para pasar de las preferencias individuales a las preferencias de grupo podía ser consistente con todos esos supuestos.

El Teorema de Imposibilidad de Arrow no demuestra del todo que una función de bienestar social sea lógicamente imposible. Por un lado, el teorema sólo se aplica a las preferencias sociales basadas en las preferencias individuales; una función de bienestar social que diga: “Lo socialmente preferido es lo que Dios quiere” o “Lo socialmente preferido es lo que un filósofo puede demostrar que todos deberíamos querer”, no queda eliminada por el teorema. Además, se aplica a las funciones de bienestar social basadas en las preferencias, pero no a las basadas en las funciones de utilidad. La única forma en la que las funciones de utilidad son observables es como preferencias; podemos observar que prefieres una galleta a una Coca-Cola Light (porque dada la elección, coges la galleta), pero no podemos observar en qué medida la prefieres. Incluso la versión de Von Neumann de la utilidad, aunque permite hacer afirmaciones cuantitativas sobre mis preferencias, no permite hacer comparaciones cuantitativas entre mis preferencias y las tuyas.

Si, al decidir qué es lo que se prefiere socialmente, pudiéramos utilizar no sólo el hecho de que yo prefiero A a B, sino también que yo prefiero A a B por siete utilidades y B a C por dos, mientras que usted prefiere B a A por una utileza y C a B por tres, el Teorema de Imposibilidad ya no se sostendría. En este caso, la función de bienestar social obvia sería la utilidad total: Sumar la utilidad de todos para cada resultado y utilizar la suma como función de bienestar social. Esta regla para definir lo que es deseable, llamada utilitarismo por los filósofos, desempeñó un papel importante en el desarrollo de la economía (y la filosofía). Alfred Marshall, por ejemplo, fue un utilitarista que propuso lo que he llamado la eficiencia de Marshall como una regla aproximada para maximizar la utilidad total (no observable).


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